Reflektion efter ”myntlektion”

I föregående inlägg beskriver jag ett arbetssätt i matematikundervisningen som utgår från elevernas verklighet, där eleverna själva definierar problemet att lösa. På så sätt blir eleverna ägare av problemen och därmed också motiverade till arbete genom en ökad lust att lära. Utgår man från eleverna på det här sättet återfinns snabbt en mängd olika nulägen i en grupp.

Man skulle kunna kalla fasen där eleverna själva definierar vad de ser som problem att lösa som en slags kartläggningsmöjlighet för läraren om elevernas olika nuläge och behov av stimulans för vidare utveckling. Jag hade förmånen att genomföra lektionen som inleds med en film där jag staplar mynt tillsammans med en kollega i måndags.

Efter att ha visat filmen (http://www.youtube.com/watch?v=VYk6F9QvRNQ) hade alla eleverna olika typer av frågor kring filmen såsom; om jag hade så många mynt som krävdes eller om jag verkligen lyckades bygga upp till taket utan att stapeln föll. Andra frågor som dök upp var hur många mynt jag staplade i själva filmen och hur lång tid det tog osv. Kvaliteten på frågorna skiftar naturligtvis i en grupp men något jag lagt märke till är hur snabbt de ”matematiska frågorna” sprider sig eleverna emellan. Vad jag menar med det är att eleverna snabbt lär sig av varandra hur man formulerar problem i matematik utifrån en händelse/ett problem vilket enligt mig är centralt för att t.ex. kunna bryta ned långa problemlösningsuppgifter i mindre delmoment genom nya frågeställningar. Hur kan man stimulera elever till att vilja detta? Jag frågade efter att en elev har ställt en fråga om någon annan också tänkte på den frågan och något jag märkte var att eleverna snabbt visste vad som är en bra/klurig och/eller intressant frågeställning. Detta såg jag genom att det var vid dessa frågor flest elever hävdade att de intresserades av frågan medan de frågor som hade självklara svar inte attraherade lika många. Dock togs även dessa frågor på stort allvar av mig som lärare då de ger mig information om hur jag och eleven ska gå vidare.

Innan lektionen hade jag och min kollega bestämt att vi skulle titta på hur eleverna resonerade kring rimlighet i situationen med mynten. Eleverna fick som jag beskrivit i föregående inlägg göra olika gissningar kring myntstapelns höjd, dels en gissning på exakt antal men också gissningar som skulle ringa in inom vilket spann antalet mynt låg. Matrisen nedan är ett utdrag av kunskapskraven i matematik gällande problemlösning och ”rimlighetsresonemang”. Med den i bakhuvudet gick vi lärare mellan grupperna, lyssnade och gav korta kommentarer till eleverna när de diskuterade som exempelvis;

– Kan du förklara tydligare varför?
– Kan du hålla med om din kamrats gissning?
– Kan du förklara hur (annan elev) tänkt?
– Vad skiljer din motivering mot (annans elev)?
– Finns det något som talar mot din motivering?
– Behöver vi någon ytterligare information för att veta vilken motivering som är bäst?

Utdrag ur kurplanen för matematik: Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och för enkla och till viss del underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt.

Efter detta presenterade grupperna några olika motiveringar för varandra. Här tänker jag nu i efterhand att man skulle kunna använda sig av kamratbedömning kring kvaliteten i motiveringarna, något vi inte gjorde den här lektionen.

Efter detta fick eleverna fundera kring den information de behövde för att lösa problemet vilket var något jag trodde skulle vara svårt med i situationen när de diskuterade med varandra kunde de direkt enas i grupperna om sammanlagt tre olika önskemål om information som de hade varav två av dessa var nödvändiga för att lösa uppgiften (något vi också diskuterade tillsammans).

Eleverna fick av mig veta (via en titt på google) hur tjock en enkrona var och hur högt det var mellan golv och tak. Sedan diskuterade vi vilka räknesätt vi skulle använda och fick prata matematik och innehållsdivision med vardagligt språk ”hur många 1.95 mm tjocka enkronor får plats i en stapel som är 240 cm” vilket var nyttigt. Efter detta räknade vi tillsammans ut detta med en miniräknare och ägnade också några minuter till omvandling av enheter.

Jag avslutade lektionen genom att fråga eleverna, var och en, vilken stapel de skulle välja om de fick välja mellan en decimeterhög stapel femkronor och en lika hög stapel med tior och varför? De flesta eleverna valde tiorna, några femmorna och någon enstaka menade att staplarna var värda lika mycket. Det intressanta var dock att alla eleverna hade ett motiv till sina val oavsett vilken stapel de valde och när eleverna motiverade valen förklarade de i stil med ”en femma är nog hälften så tjock som en tia”, ”en tia är tjockare än två femmor”, två femmor är inte lika tjocka som en tia” osv. Genom att lyssna på andras argument kunde de för sig själva också jämföra och få tips på nya varianter att motivera till problem de stöter på längre fram. Jag tycker detta sätt kan jämföras med en sk. ”exit ticket” i slutet av en lektion.

Hoppas någon blir intresserad att prova den här typen av lektion. Berätta i så fall gärna hur det gick.

/Nicklas Mörk

Matematiklektion – återigen med inspiration från Dan Meyer

Nu är det bara några veckor kvar på terminen. Fortfarande finns dock en hel del tid kvar till att utveckla förmågor. Här kommer ett exempel på vad elever i år 4-6 kommer att arbeta med på min skola den här veckan. Återigen har jag inspirerats av Dan Meyer och försöker denna gång låta en film med enkronor vara katalysator för elevernas lärande.

Jag har filmat en kort sekvens där enkronor staplas till en ca en decimeter hög stapel. Jag förklarar i filmen att tanken är att stapeln ska nå upp till taket. Min tanke är att eleverna ska börja fundera över hur hög stapeln blir och hur mycket pengar som krävs för att nå taket men förmodligen dyker även andra funderingar upp, vilka också måste få och bör få ta plats. En vidare tanke är att eleverna ska kunna använda den här kunskapen för att senare använda den i nya sammanhang såsom att kunna jämföra olika staplars längd som ett mått på pengar i relation till varandra, dock fortfarande vardagsnära.

Länk till videoklippet: http://www.youtube.com/watch?v=VYk6F9QvRNQ&feature=youtu.be

Kan jag ha tillräckligt med pengar för att nå taket?

– Låt eleverna göra en gissning på hur mycket pengar som krävs.

– Låt eleverna skriva ned en summa som de anser vara det högsta tänkbara antalet enkronor jag måste ha.

– Låt eleverna skriva ned en summa som de anser vara det lägsta tänkbara antalet enkronor jag måste ha.

– Låt sedan eleverna diskutera/motivera sina antaganden/gissningar med varandra t.ex. två och två, eller fyra och fyra för att sedan sammanfatta i helklass.

Vad behöver eleverna för information för att kunna ta reda på hur deras antaganden står sig i förhållande till verkligheten?

Var letar vi informationen? Jag låter eleverna använda digitala verktyg, t.ex. mobiltelefoner, datorer, surfplattor eller annan tillgängliga medel för att finna information de anser sig behöva. Jag har enkronor till hands så att eleverna får mäta och bilda sig uppfattning om dess storlek på plats. Jag har tagit ett foto som ger eleverna information till att kunna ta reda på höjden mellan golv och tak om de önskar. Det här arbetet sker med fördel i smågrupper om 3-4 elever så goda exempel och problemlösningsstrategier delas, värderas och sprids. Man kan dela av detta moment av lektionen genom att i helklass sammanfatta och tillsammans först värdera vilken information som är viktig och nödvändig för uppgiften för att sedan låta eleverna leta den informationen tillsammans och därefter använda den tillsammans med sin strategi för problemlösning.

Då de olika grupperna arbetar med uppgiften kommer det gå olika snabbt vilket är gynnsamt då läraren (eller kanske två lärare) hinner gå runt mellan grupperna och ge direkt respons i arbetet till eleverna. Följdfrågorna till en uppgift som den här är oändliga och går också att variera i oändlighet efter vilka elever man har och vilken svårighet och förmåga eleverna vill/behöver öva. Några av nedanstående frågor kommer jag använda följande vecka, olika beroende på grupp och behov:

Världens rikaste person i maj 2013 heter Bill Gates. Han har 72,7 miljarder dollar. Hur långt når Bills stapel om han skulle växla sina pengar till svenska enkronor? Ge några förslag på något man kan jämföra Bills stapel med!

Kan vi skapa en matematisk formel för stapelns höjd (om vi vet antalet mynt)?

Om min lön t.ex. motsvaras av 40 meter enkronor, hur många meter försvinner i skatt?

När man sprungit 60 m på idrotten, hur många enkronor motsvarar det?

Hur många enkronor långt är klassrummet? Hur många enkronor ryms i klassrummet?

Frågar man sig vilka förmågor vi arbetar med inom matematikämnet vid ovanstående skulle jag säga alla. Vilket centralt innehåll dessa förmågor kopplas till kan se lite olika ut beroende på var diskussionerna landar men taluppfattning, delar av algebra, geometri och framförallt problemlösning är vad jag tänker på i första hand.

Feedback till eleverna tänker jag mig i form av att gå till eleverna när de arbetar i smågrupperna och ge kort respons. Jag kommer också använda kamratbedömning kring strategier och resonemang kring rimlighet. Jag kommer också i helklass jämföra olika problemlösningsstrategier så eleverna själva kan välja den strategi/metod som passar dem just nu.

/Nicklas Mörk

Att röra och beröra historia

Under den senaste terminen har jag och mina kollegor haft några olika teman för eleverna att välja bland vid lektionerna under namnet ”elevens val”. Jag har undervisat en grupp elever (blandat från år 4, 5 och 6) inom ett tema som berörde främst historia, teknik och krig (efter elevernas önskemål). Igår hade jag med mig en påse gamla mynt till gruppen med elever. Mynten var en blandning av ettöringar, tvåöringar och femöringar och ett och annat mynt från andra länder. Mynten var daterade mellan år 1930 fram till 1990.

Lektionen inleddes med att var och en av eleverna i gruppen fick ta ett mynt ur påsen. Eleverna fick titta på mynten och bekanta sig med vad det var de höll i handen – en bit av världens historia. Sedan ställde jag följande frågor till eleverna att fundera över och ta reda på:

– Vad tror du ditt mynt varit med om?

– Vem/Vilka kan ha hållit just ditt mynt i handen tidigare?

Bonusuppgift:

– Vad kunde man köpa med myntet?

Eleverna hade tillgång till Internet och kunde därmed i smågrupper (3-4 elever) hjälpas åt att leta reda på olika ledtrådar som kunde hjälpa var och en.  Några googlade årtalet på myntet för att sedan koppla ihop händelser och personer till sitt mynt. Andra jämförde sitt mynts ålder med andra, för dem, kända saker som exempelvis Golden Gate eller huvudpersonen i en bok jag nyligen högläst (Hanas resväska). Jämförelserna spreds mellan grupperna. Några bytte mynt till, för dem, mer intressanta årtal.

Efter detta fick eleverna i uppdrag att tillsammans sortera mynten efter årtal och vi skapade tillsammans en tidslinje med mynten från 1930 fram till 1968. Vi kunde sortera in händelser på tidslinjen och också titta på olika valspråk som fanns på mynten.

– Vad kan vi dra för slutsatser av de olika valspråken?

– Vad betydde/betyder de olika valspråken?

Slutligen sorterade vi resten av mynten och la alla mynt med ett visst årtal i en särskild hög varefter vi radade upp högarna bredvid varandra. Jag tog ett kort av kreationen och visade eleverna på projektorn. Plötsligt hade vi ett stapeldiagram som vi kunde diskutera kring, både vad som gjorde vårt alster till ett användbart diagram och vad som kunde göra tolkning av diagrammet svår (såsom exempelvis myntens olika tjocklek osv.).

– Vilken är åldersskillnaden mellan äldsta och yngsta myntet?

– Hur många olika människor kan ha ägt det äldsta respektive yngsta myntet?

Lektionen avslutades med att alla elever fick byta till sig ett mynt med ett årtal de ville veta mer om. I och med ägarbytet av mynten ändrades historien för mynten och tjugo nya historier skrivs.

Inom ramen för den ”elevens val” är det viktigt att ha läroplanen i ryggmärgen för att se vinsterna och de mångsidiga möjligheterna för eleverna att utveckla en mängd olika förmågor i olika ämnen förutom historia, ofta också som ett eget val. Här följer ett axplock av förmågor ur kursplanerna som eleverna var och en arbetade med och utvecklade under den här lektionen (olika kombinationer för olika elever):

Matematik

– formulera och lösa problem med hjälp av matematik

– använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp

– välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter

Historia

– använda en historisk referensram som innefattar olika tolkningar av tidsperioder, händelser, gestalter, kulturmöten och utvecklingslinjer

– kritiskt granska, tolka och värdera källor som grund för att skapa historisk kunskap

– reflektera över sin egen och andras användning av historia i olika sammanhang och utifrån olika perspektiv

– använda historiska begrepp för att analysera hur historisk kunskap ordnas, skapas och används

Samhällskunskap

– söka information om samhället från medier, Internet och andra källor och värdera deras relevans och trovärdighet

Svenska

– formulera sig och kommunicera i tal och skrift

– anpassa språket efter olika syften, mottagare och sammanhang

– söka information om samhället från medier, Internet och andra källor och värdera deras relevans och trovärdighet

 

Dessutom utvecklade eleverna sina samarbeten, hade inflytande och visade lust att lära.

Kom ihåg; alla vill lära om lärandet finns inom rimligt avstånd. Det är värt att satsa ett öre på.

/Nicklas Mörk

En matematiklektion med inspiration från Dan Meyer

Idag är dagen då jag har mod nog att skriva ett blogginlägg för första gången i mitt liv och dela med mig av något ur min lärarvardag. Jag provar detta för att själv sätta ord på tankarna kring något jag gjort som lärare och som dessutom blev bra.

Jag har många gånger lyssnat till Dan Meyer, t.ex. via ”Tedtalks”, och inspireras av hans sätt att kombinera relationsskapande med matematik som en helhet. Jag tänker främst på sättet att presentera matematiken, som en inkluderad del av verkligheten, för elever/studenter/lärare och inkludera eleverna i undervisningen genom delaktighet. Jag bestämde mig för att prova en variant av hur Dan Meyer arbetar i två av mina undervisningsgrupper och för egen del jämföra med traditionellt arbete i matematikbok.

Eftersom jag undervisar elever i år 4, 5 och 6 utgick jag från det tema vi arbetade efter just då vilket var ”geometri” och i nuet främst ”volym”. I samband med temat kring volym har vi också tränat de fyra räknesätten och arbetat en hel del med problemlösning. En morgon riggade jag upp mobiltelefonen i badrummet innan jag åkte till jobbet och matematiklektionen. Jag filmade min procedur vid morgontandborstning, något som alla elever dagligen är med om. Jag lät vattnet rinna medan jag borstade tänderna och avslutade sedan filmen. Efter detta filmade jag ytterligare en kort film över när jag lät vattnet fylla en mugg.

Lektionen inledde jag med att berätta att vi skulle se ett videoklipp och att eleverna skulle anteckna det första de tänkte på i sitt matematikhäfte under tiden. Då vi sett videoklippet klart fick eleverna diskutera sina betraktelser/funderingar två och två. Sedan fick de presentera detta inför hela elevgruppen och jag antecknade vad eleverna sa så alla kunde ta del av detta via projektorn. Frågor som sök upp var allt från vilken tandkräm jag använt till varför jag slösade vatten och hur mycket vatten som gick till spillo. Vi rangordnade dessa betraktelser utefter vilken som var vanligast förekommande i elevgruppen (frågan om hur mycket vatten som slösades). Nu hade eleverna själva bestämt problemet som skulle lösas istället för att tillverkaren av matematikmaterialet skulle ha gjort det, något som är poängen med metoden.

Nästa fråga jag ställde till eleverna var: ”vad behöver ni för information för att kunna lösa problemet”? Även denna gång fick eleverna diskutera två och två men denna gång spred sig diskussionerna mellan paren. Sedan skrev vi upp dessa förslag och rangordnade efter vilka som var vanligast förekommande i paren. Eleverna ville veta hur länge vattnet rann, vilket tryck vattnet hade, hur stort hålet var där vattnet rann ner och hur mycket vatten som kom ur kranen på 1 sekund för att ta några exempel.

Efter detta ställde jag frågan till eleverna hur vi kunde tillgodose deras behov av information; ”hur gör vi om vi vill ta reda på det ni vill veta”? Sedan genomförde vi samma procedur som ovan. Ett vanligt förslag var att vi skulle börja ta tid på hur länge vattnet rann genom att titta på videoklippet igen. Vi gjorde det var och en genom användning av klockor, tidtagarur, mobiler och såg till att vi var överens i hur länge vattnet runnit. För att stilla elevernas behov att veta hur mycket vatten som rann ur kranen på en viss tid visade jag mitt andra videoklipp.

Efter detta var det läge för rast men det dröjde inte länge innan flera elever kom till mig med förslag på hur mycket vatten som slösades och följdfrågor som; ”hur mycket kostar vatten”, ”är det där bra för miljön”, frågor som har alla möjligheter att bli nya anknutna matematiska problem.

Efter rasten provade vi praktiskt att fylla litermått med vatten så länge som vattnet runnit i videoklippet för att se rimligheten i elevernas lösningar. Som ni ser leder det här sättet att arbeta till övning och utveckling av många olika matematiska förmågor såsom begreppsanvändning/förståelse, föra matematiska resonemang, skriftliga räknemetoder och användning av matematiska hjälpmedel och framförallt kommer en mångfald av olika strategier och metoder kring problemlösning upp och ser dagens ljus. Samtidigt inbjuder det här arbetssättet (då man lyckas) alla elever att vara delaktiga, oavsett sina tidigare kunskaper, och eleverna lär av varandra och tillsammans. Undervisningsrelationer byggs och utvecklas.

För att anknyta till/jämföra med hur den här uppgiften skulle ha kunnat se ut i en traditionell matematikbok är här ett försök;

När Svea borstar tänderna låter hon vattnet stå på under tiden hon borstar. Vattnet står på i 68 sekunder och var 5:e sekund har det runnit ut 3 dl vatten. Hur mycket vatten slösar Svea?

Jag konstruerar inte till vardags matematikproblem till matematikböcker och ovanstående exempel har säkert inte följt konstens alla regler. En sak är dock säker; eleverna äger inte problemet. Det tror jag är en avgörande skillnad i skapandet av lärandemöjlighet.

Sammanfattningsvis bestod planeringen av min lektion av två korta videoklipp, tre till fyra korta frågor/anvisningar att bygga upp elevernas aktivitet kring. Att sedan kreativt fånga elevernas, låta dem vara delaktiga och få möjligheter att visa styrkor är det som utvecklar förmågorna. Något som tilläggas bör är att de korta frågorna som ska fånga alla oftast är de svåraste som kräver mest kreativitet och planeringsarbete.

Dan Meyer beskriver hur han dagligen under lång tid samlat på sig klipp/ bilder och annat som grund för matematikundervisning. Till detta måste man slipa på feta frågor och att kunna fånga upp elevernas intresse till nya lektioner längre fram. Samtidigt måste läroplanen och kursplanen i matematik hela tiden finnas med hos både eleverna och läraren. Likaså är det viktigt att sätta ord på vad eleverna faktiskt gör under en liknande lektion; ”när du ____ använde du och jämförde matematiska begrepp”, ”när du nu sa _____visade du att du kunde föra ett matematiskt resonemang kring ____” och så vidare.

/ Nicklas Mörk